Penaltılarda Matematik ve Oyun Teorisi

Büyük futbol turnuvalarının son aşamalarında penaltı atışları izlemek tarafsız izleyiciler için büyüleyici bir gösteriyken, taraf tutanlar için işkence gibi bir süreç. Futbolcular için ise kariyerlerini belirleyebilecek bir sınav...

Penaltı atışları, spordaki en yüksek gerilimli dramatik anlardan birini sunuyor.

İngiltere ile İsveç arasındaki EURO 2025 çeyrek finali, normal süre ve uzatmalarda eşitlik bozulmayınca penaltılara kaldı.

İngiltere adına ilk vuruş için topun başına geçen Alessia Russo, İsveçli kaleci Jennifer Falk'ın uzanamayacağı köşeye vurdu. Ancak İngiltere sonraki üç atışında gol bulamadı.

Falk her seferinde doğru köşeyi seçti ve üç penaltıyı da kurtardı. İngiltere'nin beşinci atışından önce kamera Falk'a döndüğünde, kalecinin su şişesinden İngiliz futbolcuların isimlerini ve tercih ettikleri köşeleri yazılı notları kontrol ettiği görüldü.

İngiltere için İsveç de penaltılarda aynı derecede başarısızdı. İngiltere kalecisi Hannah Hampton iki penaltıyı kurtardı, iki İsveçli oyuncu da topu dışarıya gönderdi.

Altı atış sonunda sadece iki gol bulundu ve skor hâlâ eşitti. Bu kez İngiltere'nin tecrübeli savunmacısı Lucy Bronze topun başına geçti. Vuruşunu kalecinin bacaklarının üzerinden tam ortaya göndererek gol yaptı.

Ardından İsveçli genç oyuncu Smilla Holmberg son penaltıyı üstten auta gönderince İngiltere büyük sevinç yaşadı.

Maç sonrası röportajında Bronze (annesinin matematik öğretmeni olduğu ve okul yıllarında İngiltere Matematik Yarışması'nda bronz madalya kazandığı biliniyor) penaltısını ortaya vurma kararını şöyle açıkladı:

"Kaleciyi izledim. Her penaltıda çok erken bir tarafa atlıyordu. İstatistiksel olarak kalecinin ortada beklemesi riskli. O yüzden evet, matematiği seviyorum."

Bronze'un sözleri önemli bir soruyu gündeme getiriyor: Matematik, futbolcuların penaltı atarken nasıl davranacaklarını belirlemelerine yardımcı olabilir mi?

Gol atma ihtimalini artırmak için ne yapmalılar? Yukarı mı vurmalı, aşağı mı; sağa mı sola mı yoksa ortaya mı? Topa olabildiğince sert mi vurmalı yoksa daha çok yerleştirmeye mi odaklanmalı?

Ya da kalecinin bir yana atlayacağı umuduyla topu ortaya hafifçe aşırmak anlamına gelen "Panenka" tekniğini denemek mi mantıklı?

Başarırsa dahiyane, kaleci bu oyuna kanmazsa son derece utandırıcı...

Aslında tüm rekabet, kişilikler ve atmosfer bir kenara bırakıldığında, penaltı basit bir oyun: Yalnızca iki oyuncu var; penaltıyı atan ve kaleci.

Neyse ki böyle basit rekabetleri incelemek için geliştirilmiş matematiksel bir alan var: Oyun Teorisi.

Bu teoriye göre penaltı, sıfır toplamlı bir oyun: Penaltıcı gol atarsa kaleci kaybeder, kaleci kurtarırsa ya da oyuncu kaçırırsa kaleci kazanır. Yani yalnızca bir kazanan var.

Penaltıcı için topu nereye atacağına dair çeşitli stratejiler, kaleci için de hangi köşeye atlayacağına dair çeşitli seçenekler var.

İşleri basitleştirmek için üç ihtimali ele alalım: Sağ, sol ya da orta. Kaleci için de aynı üç seçenek geçerli. Genelde her iki taraf da kararını önceden veriyor.

İngiliz futbolcuların çeyrek finalde yaşadığı gibi, "her zaman sağa vur" gibi tek bir strateji işe yaramaz.

Çünkü bu, tahmin edilebilir hale gelir ve kaleci bundan faydalanır.

İsveç kalecisi Falk'ın yaptığı da buydu. Yani penaltılar için tek bir en iyi seçenek yok. Oyun teorisinin önerdiği karma strateji burada devreye giriyor.

Bu, oyuncunun kararlarına kasıtlı olarak belirsizlik katması, yani her defasında rastgele bir yön seçmesidir.

Penaltıcı böyle yaparsa kaleci onun alışkanlıklarını çözemez. Ancak gerçekte tamamen rastgele karar vermek zordur. Oyuncuların bir tarafa daha çok yönelme eğilimleri olur. İşte bu yüzden Falk, İngiliz oyuncuların alışkanlıklarını su şişesine not etmişti.

2002'de yapılan bir araştırma, Avrupa'nın iki büyük liginde penaltı atan futbolcuların tek bir tarafı seçmek yerine topu rastgele sağa, sola ya da ortaya gönderdiklerini gösterdi.

Ancak bu, "bir sağa bir sola" gibi sırayla seçim yapmak değil; çünkü bu da kolayca tahmin edilebilen bir düzenlilik.

Tenis ve karma strateji

Futbol, karma stratejinin işe yaradığı tek spor değil. Teniste servis, oyuncuların en güçlü silahlarından biri.

Profesyoneller serviste puanların yaklaşık üçte ikisini kazanır, bu da servis oyunlarının yüzde 86'sını almak anlamına gelir.

Elit seviyede bu oran daha da yükselir. Son Wimbledon finalinde Carlos Alcaraz servis puanlarının yüzde 73'ünü (165 servisten 121), dünya bir numarası ve şampiyon Jannik Sinner ise yüzde 76'sını (152 servisten 116) kazandı.

Servisin gücü, rakibin tepki vermek için çok az zamanı olmasından gelir. Elit seviyede servis için genellikle iki seçenek vardır: Ortaya doğru ya da dışarıya doğru.

Rakip hangi servisin geleceğini bilirse avantaj kazanır. Dolayısıyla servis atan için en iyi strateji, yine karışık oynamak, yani rastgele seçim yapmaktır.

Avustralya'daki Deakin Üniversitesi'nden ekonomi araştırmacısı Romain Gauriot ve ekibi, 3 binden fazla maçta yarım milyona yakın servisi analiz etti.

Sonuçta profesyonel tenisçilerin servis seçiminde neredeyse mükemmel bir karma strateji kullandığını buldular.

Buna karşın genç oyuncular çok daha tahmin edilebilir servis atıyor, yani henüz bu stratejiyi mükemmelleştirememişlerdi. Bu da karma strateji kullanabilmenin, profesyonel seviyeye ulaşmayı kolaylaştıran bir beceri olduğunu gösteriyor.

Avcılıktan siyasete: Rastgelelik

Karma stratejiler sporun dışında da uzun zamandır uygulanıyor. Örneğin Kanada'nın doğusundaki Naskapi halkı, avcılıklarındaki yön seçiminde rastgeleliği yüzyıllardır kullanıyor.

Önceki avlarda elde edilen ren geyiği kemiklerini yakıp üzerindeki yanık izlerine bakarak bir sonraki av yönünü belirliyorlar.

Bu yöntemin insanın sürekli aynı kararları verme eğilimini kırdığı, böylece hem bir bölgedeki av hayvanlarının tükenmesini engellediği hem de hayvanların insanların sık avlandığı bölgelerden kaçınmasını zorlaştırdığı ileri sürülüyor.

Ancak bunun ne kadar etkili olduğu konusunda şüphe duyan araştırmacılar da var.

Benzer şekilde, pazarlık süreçlerinde de belirsizlik etkili olabilir. Yakın zamanda yapılan bir deneyde, işletme öğrencileri kurgusal bir anlaşma için müzakere etti.

Bir senaryoda müzakereci hep olumsuz ve öfkeli davrandı; diğerinde ise olumlu ve olumsuz ruh hallerini sürekli değiştirdi.

Karşısındaki kişinin ruh halindeki bu belirsizlik, diğer tarafın kontrolü kaybettiğini hissetmesine yol açtı.

Bunun sonucunda daha büyük tavizler verdiler.

Siyasette de liderler karma stratejiler kullanarak rakiplerini belirsizlik içinde bırakmayı hedefler.

Bu stratejilerden biri, siyaset biliminde "Deli Adam Teorisi" (Madman Theory) olarak bilinir.

ABD Başkanı Richard Nixon, 1960'ların sonunda ve 1970'lerin başında bu yöntemi dış politikasında kullandı. Nixon, komünist rakiplerinin kendisini öngörülemez ve mantıksız biri olarak görmesini istiyordu.

Böylece onun tepkilerini tahmin edemeyen rakipleri, istemeden bir krizi tetikleme korkusuyla daha çok taviz vermek zorunda kalacaktı.

Daha yakın dönemde, Donald Trump'ın da hem Ortadoğu hem Ukrayna konusunda hem de ticaret müzakerelerinde Nixon'ın bu yaklaşımını yeniden kullandığı öne sürüldü.